確率統計II Splus 課題1

確率・統計演習 レポート(確率変数の操作)

用いたS言語のコマンド、および、主要結果はレポートに付録として添付せよ。

[課題1] 確率変数の四則変換

Splusを用いて、以下の実験を行ない、得られた結果を理論と比較せよ。

1.      [準備（レポートで報告する必要はない）]平均4標準偏差1の正規乱数を1000個作成し、xというオブジェクトに付値せよ。また、平均9標準偏差 2の正規乱数を1000個作成し、y というオブジェクトに付値せよ。サンプルx のヒストグラムを、x軸の範囲(-5,20)上に書いて見よ。(関数histで以下のようにoptionを追加して描画してみよ。)
　　　　　　　hist(x, breaks=(-10:40)*0.5,ylim=c(0,200))
　　　　　　　[ breaks:区間の分割方法、ylim:y軸の描画範囲 の指定]

注 : Splus の rnorm,dnorm など正規分布のバラツキの大きさ指定の引数sd は分散ではなく、標準偏差(＝分散の平方根)を指定する。

2.      x の経験分布(ヒストグラム)の上に、理論分布の密度関数(dnorm参照)を重ね書きしてみよ(Splusのhistによるグラフ作成例)。さらに、このx について経験分布関数を書き、理論分布関数と重ね描きしてみよ。

注1、経験分布とは、生成した乱数を得られたサンプルと解釈したときの、ヒストグラムで代表される分布のことである。
注2、理論分布を重ね書きする時には、オプションylim=c(0,200) の指定はしないで書くこと（どうしてそうすべきか、考えてみよ）。

3.      x+5, 2*x, y-x と変換した場合の理論分布が何になるか検討し、その理論分布の期待値や分散を理論計算で求めよ( 講義で期待値や分散の理論計算法は確率統計Iで勉強しているはず。正規分布に従う確率変数の定数倍や和、差の結果は、また、正規分布に従う)。さらに、x, yの1000個の各値について、x+5,2*x, y-x を求め、これらそれぞれの標本平均値や不偏分散値を求め、上で得られた期待値や分散と比較して見よ。

注:"不偏分散"は標本から計算した母分散の推定値のこと。たとえば、var(x+5) で計算できる。詳しくは後で学習する。

4.      x, x+5, 2*x, y, y-x の、５つのヒストグラムを理論分布つきで書いて比較せよ。予想どおりの形となったか？

なお、par(mfrow=c(5,1))というコマンドを実施すると、５つのグラフを一枚のウインドーに縦に並べて描画できる。元のように、１枚ずつ描画するようにしたいときにはpar(mfrow=c(1,1))とすればよい。並べて描画するときには、x軸の範囲を揃えるとわかりやすい。hist関数に対して、xlim=c(下限,上限) のオプション指定をして、描画してみよ。（「上限」、「下限」にはデータが現れうる範囲の数値をいれる）

参考関数:rnorm(正規乱数),hist(ヒストグラム),par(グラフィックスパラメータの指定),title(グラフ表題の図への追加),dnorm(正規分布密度関数値),seq(数列の作成),lines(グラフへの線の重ね書き),mean(平均値),var(不偏分散),cdf.compare(経験分布関数の描画と理論分布関数との比較)

詳しいオプションなどについては、S言語の環境中のオンラインマニュアルも参照のこと。オンラインマニュアルを見るためには、Sの環境で、
　　　　　　　> ? コマンド名
とすればよい。

[課題２] 確率変数の二乗

1.      [0,1]の一様乱数を1000個作成し、zに付置せよ。これをw=z^2と変換し、それぞれ、課題１と同様に、理論分布と比較してみよ。breaks などは、自分で適当に設定してみよ。（テキストp.6, 例1.5参照）

2.                 理論分布は以下を参照のこと。

3.                 （wは名前のある有名分布とならないので、確率密度関数はSの既製の

4.                   関数では用意されていない。）

5.                  

6.                   W の分布関数 F_w(x) = Pr( W < x ) 

7.                                       = Pr( Z^2 < x )

8.                                       = Pr( Z  < sqrt(x) )

9.                                       = sqrt(x) 

10.              

11.             であることを利用すると、以下のように確率密度関数が求まる。

12.              

13.               W の確率密度関数 f_w(x) = d F_w(x) / dx 

14.                                       = 1 / ( 2 sqrt(x) )

参考関数（追加）: rep(値の反復)

[出題]2009.10.30

[提出期限]11月13日（金）18時

[提出場所]2号館2F 大澤教員室前 レポート受け