確率・統計演習 レポート(正規分布から導かれ
る統計量の分布)
用いたS言語のコマンド、および、主要結果はレポートに付録として添付せよ。
[課題] 正規分布の標本平均、不偏分散、t統計量の分布
Splusを用いて、以下の実験を行ない、得られた結果を理論と比較考察せよ。
· [準備] 平均が自分の学生番号の末尾2桁( これを a とする )であり、標準偏差が ( (a mod 5) + 2 ) の正規母集団を考え、この母集団からの"標本の大きさ"が20の標本を500回、作成することを考える。この500回行なった結果に相当する 500x20の配列を正規乱数によって作成せよ。また、このうちいくつかの標本についてヒストグラムを描いて 20個の標本がどのように散らばっているか確認して見よ。 (以上の結果はレポートに添付する必要は無い。)
· [1] この500個の各標本のそれぞれについて標本平均( m_i )を求め (下記関数 apply 参照)、標本平均のヒストグラムを書いて見よ。標本平均の理論分布が何になるか検討し、この標本分布の上に、理論分布(テキストp25-6 例2.3、2.1.4節 参照)の密度関数を重ね書きして見よ (Splusのhistによるグラフ作成例)。また、求めた500個の標本平均の標本平均、不偏分散を求めて見よ。 (以上の結果は理論と良く一致するか?)
注： 不偏分散とは、母集団のバラツキを知るための統計量である。平均偏差平方和を自由度(サンプル数-1)で割ることで求められる。 S言語では、var という関数で求められる。なお、不偏分散の期待値は母分散と一致する。
· [2] 500個の各標本の不偏分散( V_i )を求め、そのヒストグラムを書いて見よ。さらにこの500個の不偏分散をχ^2分布に従う統計値に変換し ([サンプル数("標本の大きさ")-1]を掛け、母分散で割れば良い)、その標本分布の上に理論分布(テキストp29 定理2.2 参照)の密度関数を重ね書きして見よ。また、求めた500個の不偏分散の標本平均、不偏分散を求めて見よ。 (以上の結果は理論と良く一致するか?)
· [3] 上の500個の標本それぞれから、t統計量：( m_i - a ) / √( V_i / n )を求め、そのヒストグラムを書いて見よ。その標本分布の上に理論分布(テキストp31 参照)の密度関数を重ね書きして見よ。 求めた t 統計量の標本平均、不偏分散を求め、理論値と比較せよ。なお、自由度 n の t 分布の平均 E(t)=0, 分散 V(t)= n / (n-2) である。 (以上の結果は理論と良く一致するか?)
参考関数: rnorm(正規乱数) hist(ヒストグラム), matrix(行列化), apply(各行/列への関数適応), mean(平均値), var(不偏分散), dnorm(正規分布密度関数値) dchisq(χ^2分布密度関数値) dt(t分布密度関数値) lines(グラフへの線の重ね書き),
[出題] 11月16日(月)
[提出期限] 12月4日(金)
[提出場所] 2号館2F 大澤教員室前 レポート受け
氏 名: 大澤 新吾
E-mail: shingo@cs.gunma-u.ac.jp
確率統計Ⅱ・確率統計演習 へ
http://www.educ.cs.gunma-u.ac.jp/~shingo/Exercise/Splus-T.html
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